☛ Justifier qu'un vecteur est normal à un plan

Énoncé

Dans un repère orthonormé de l'espace, soit \(\text A(-1~;-2~;~3)\) , \(\text B(1~;-2~;~7)\) et \(\text C(1~;~0~;~2)\) trois points. On admet que les points \(\text A\) , \(\text B\) et \(\text C\) forment un plan. 
Soit \(\overrightarrow{n}(-4~;~5~;~2)\) un vecteur de l'espace. Justifier que  \(\overrightarrow{n}\) est normal au plan \(\mathrm{(ABC)}\) .

Solution  

On a  \(\mathrm{\overrightarrow{AB}} \begin{pmatrix} 2\\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\)  et  \(\mathrm{\overrightarrow{AC}} \begin{pmatrix} 2\\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\)  deux vecteurs du plan \(\mathrm{(ABC)}\) qui sont non colinéaires.
Alors  \(\overrightarrow{n}\cdot \mathrm{\overrightarrow{AB}} = -4\times 2+5\times 0+2\times 4=-8+0+8=0\)  et  \(\overrightarrow{n}\cdot \mathrm{\overrightarrow{AC}} = -4\times 2+5\times 2+2\times (-1)=-8+10-2=-10+10=0\) .
Conclusion :  \(\overrightarrow{n}\)  est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, il est donc normal au plan \(\mathrm{(ABC)}\) .